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【数据结构】树的定义和树的三种存储结构

发布:互联网2019-12-03 09:03:13分类: 国内资讯

之前谈论的链表、队列都是一对一的线性结构,那么一对多的情况如何处理呢?“树”有效的解决了这种一对多的数据结构关系。

一、树的定义

1.树的定义

树(Tree)是n(n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中:

  1. 有且仅有一个特定的称为根(root)的结点
  2. 当n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互补交互的有限集T1、T2...Tm,其中每一个集合本身又是一棵树,并称为根的子树(SubTree)

    Tree

2.树的特点
  • n>0时,根节点是唯一的,不可能存在多个根节点。数据结构中的树只有一个根节点。
  • m>0时,子树的个数没有限制,但他们一定是互不相交的
3.结点的分类
  • 结点:树的结点包含一个数据元素和若干指向其子树的分支
  • 结点的度(Degree):结点拥有的子树。
  • 叶子结点(Leaf)/终端结点:度为0的结点。
  • 分支结点/非终端结点:度不为0的结点。
  • 内部结点:除根节点以外,分支结点也称为内部结点。
  • 树的度:树内各结点的度的最大值

    结点的分类

4.结点之间的关系
  • 孩子(Child)和双亲(Parent):结点的子树的根,相应的,该结点称为孩子的双亲。(注意是双亲,不是单亲)
  • 兄弟(sibling):同一个双亲的孩子之间互称兄弟。
  • 结点的祖先:从根结点到该结点所经过分支上的所有结点
  • 子孙:以某结点为根的子树中的任一结点都称为该节点的子孙。
  • 无序树和有序树:如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的,不能互换的,则称该数为有序树,否则为无序树。
  • 森林(fores):m(m>=0)棵互不相较的树的集合。

二、树的存储结构

对于存储结构,可能会联想到前面的顺序存储和链式存储结构。但是对于数这种可能会有很多孩子的特殊数据结构,只用顺序存储结构或者链式存储结构很那实现,那么可以将这两者结合,产生主要的三种存储结构表示法:双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法。

1.双亲表示法

双亲表示法定义

假设以一组连续空间存储数的结点,同时在每个结点中,附设一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置

双亲表示的结点结构
data(数据域)parent(指针域)
存储结点的数据信息存储该结点的双亲所在数组中的下标
代码实现双亲表示法
/* 树的双亲表法结点结构定义*/#define MAX_TREE_SIZE 100typedef int  ElemeType;typedef struct PTNode{ // 结点结构    ElemeType data; //结点数据    int parent;    // 双亲位置}PTNode;typedef struct { // 树结构    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];   // 结点数组    int r; // 根的位置    int n; // 结点数}PTree;

双亲表示法的特点
  • 由于根结点是没有双亲的,约定根结点的位置位置域为-1.
  • 根据结点的parent指针很容易找到它的双亲结点。所用时间复杂度为O(1),直到parent为-1时,表示找到了树结点的根。
  • 缺点:如果要找到孩子结点,需要遍历整个结构才行

2.孩子表示法

孩子表示法定义

把每个结点的孩子结点排列起来,以单链表作为存储结构,则n个结点有n个孩子链表,如果是叶子结点则此单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表,采用顺序存储结构,存放进一个一维数组中。

孩子表示法

孩子表示法的结点结构

孩子表示法有两种结点结构:孩子链表的孩子结点表头数组的表头结点

  • 孩子链表的孩子结点
child(数据域)next(指针域)
存储某个结点在表头数组中的下标存储指向某结点的下一个孩子结点的指针
  • 表头数组的表头结点
data(数据域)firstchild(头指针域)
存储某个结点的数据信息存储该结点的孩子链表的头指针
代码实现孩子表示法
/* 树的孩子表示法结构定义*/#define MAX_TREE_SIZE 100typedef int  ElemeType;typedef struct CTNode{  // 孩子结点    int child; // 孩子结点的下标    struct CTNode * next; // 指向下一结点的指针}*ChildPtr;typedef struct {  // 表头结构    ElemeType data; // 存放在数中的结点数据    ChildPtr firstchild; // 指向第一个孩子的指针}CTBox;typedef struct {  // 树结构    CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; // 结点数组    int r;  // 根的位置    int n;  // 结点树}CTree;
双亲孩子表示法定义

对于孩子表示法,查找某个结点的某个孩子,或者找某个结点的兄弟,只需要查找这个结点的孩子单链表即可。但是当要寻找某个结点的双亲时,就不是那么方便了。所以可以将双亲表示法和孩子表示法结合,形成双亲孩子表示法

show code

/* 树的双亲孩子表示法结构定义*/#define MAX_TREE_SIZE 100typedef int  ElemeType;typedef struct CTNode{  // 孩子结点    int child;  // 孩子结点的下标    struct CTNode * next;  // 指向下一结点的指针}*ChildPtr;typedef struct {  // 表头结构    ElemeType data;  // 存放在数中的结点数据    int parent;      // 存放双亲的下标    ChildPtr firstchild;  // 指向第一个孩子的指针}CTBox;typedef struct {  // 树结构    CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; // 结点数组    int r;  // 根的位置    int n;  // 结点树}CTree;

3.孩子兄弟表示法

孩子兄弟表示法定义

任意一棵树,它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的,它的右兄弟存在也是唯一的。因此,设置两个指针,分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。

孩子兄弟表示法的结点结构
data(数据域)firstchild(指针域)rightsib(指针域)
存储结点的数据信息存储该结点的第一个孩子的存储地址存储该结点的右兄弟结点的存储地址
代码实现孩子兄弟表示法
/* 树的孩子兄弟表示法结构定义*/#define MAX_TREE_SIZE 100typedef int  ElemeType;typedef struct CSNode{    ElemeType data;    struct CSNode * firstchild;    struct CSNode * rightsib;    }CSNode, *CSTree;

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